29.10.2015 в 20:50

Пишет  Trickster Avariya:

Бутылка Клейна
— неориентируемая (односторонняя) поверхность, впервые описанная в 1882 году немецким математиком Ф. Клейном. Она тесно связана с лентой Мёбиуса и проективной плоскостью. Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка); затем это название вернулось в таком виде в немецкий.

читать дальше
Чтобы построить модель бутылки Клейна, понадобится бутылка с двумя дополнительными отверстиями: в донышке и в стенке. Горлышко бутылки нужно вытянуть, изогнуть вниз и, продев его через отверстие в стенке, присоединить к отверстию на дне бутылки. Для настоящей бутылки Клейна в четырёхмерном пространстве отверстие в стенке не нужно, но без него нельзя обойтись в трёхмерном евклидовом пространстве.

В отличие от обыкновенного стакана, у этого объекта нет «края», где бы поверхность резко заканчивалась. В отличие от воздушного шара, можно пройти путь изнутри наружу, не пересекая поверхность (то есть на самом деле у этого объекта нет «внутри» и нет «снаружи»).
Более формально, бутылку Клейна можно получить склеиванием квадрата [0,1]\times [0,1], отождествляя точки (0,y) \sim (1,y) при 0\leqslant y\leqslant 1 и (x,0) \sim (1-x,1) при 0\leqslant x \leqslant 1, как показано на первой диаграмме. Следующие диаграммы показуют как эта топология погружается в бутылочную форму 3D.

Свойства
- Подобно ленте Мёбиуса, бутылка Клейна является двумерным дифференцируемым неориентируемым многообразием. В отличие от ленты Мёбиуса, бутылка Клейна является замкнутым многообразием, то есть компактным многообразием без края.
- Бутылка Клейна не может быть вложена (только погружена) в трёхмерное евклидово пространство \R^3, но вкладывается в \R^4.
- Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мёбиуса по краю. Однако в обычном трехмерном евклидовом пространстве \R^3 сделать это, не создав самопересечения, невозможно.
- Хроматическое число поверхности равно 6.

При рассечении бутылки Клейна получается лента Мёбиуса

читать дальше

— топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя при вложении в обычное трёхмерное Евклидово пространство \R^3. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края.
Лента Мёбиуса была открыта независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году. Модель ленты Мёбиуса может легко быть сделана: для этого надо взять достаточно длинную бумажную полоску и соединить противоположные концы полоски, предварительно перевернув один из них. В Евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые (топологически они, однако, неразличимы).

Международный символ переработки представляет собой лист Мёбиуса

Свойства

- Если разреза́ть ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую называют «афганской лентой». Если теперь эту ленту разрезать вдоль посередине, получаются две ленты, намотанные друг на друга.
- Если разреза́ть ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна — более короткая лента Мёбиуса, другая — длинная лента с двумя полуоборотами («афганская лента»).[1].
- Другие комбинации лент могут быть получены из лент с двумя или более полуоборотами в них. Например, если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника. Разрез ленты с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.

URL записи

@темы: Кросспост, Интересное